UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 8
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de P = (1, 1) para Q = (2, 4).
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar o trabalho realizado pela força F dada. A gente sabe que o trabalho realizado por uma força nada mais é do que o produto escalar da força pelo deslocamento, ou seja, no caso de uma curva não retilínea, temos que fazer a integral de linha da força pelo vetor deslocamento infinitesimal, do ponto inicial até o ponto final
Mas, antes, vamos verificar uma coisa: será que essa integral depende do caminho que escolhemos para ir de P até Q? Bem, a gente sabe que se F for um campo vetorial conservativo, ou seja, se ele puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
Então, a sua integral de linha não depende do caminho escolhido, apenas dos pontos inicial e final! Então vamos lá verificar se F é conservativo!
Passo 2
Como a componente x da função F é dada por , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por
Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos
Das expressões para as integrais de e vemos que as funções são iguais, sem a necessidade da adição de uma função apenas de x, C(x), ou de uma função apenas de y, C(y). Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:
Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Assim, podemos escolher o caminho que quisermos para calcular a integral de linha entre os pontos P e Q. Então, bora lá calcular a integral!
Passo 3
Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que
Onde a curva começa no ponto (1,1) e termina no ponto (2,4).
Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma
Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos
Então, podemos escrever dx e dy como
Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com . Assim, obtemos