UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 7
Mostre que a integral de linha , onde C é qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2) é independente do caminho e calcule a integral.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos dá uma integral de duas funções de duas variáveis. Podemos definir um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F(x,y):
Assim, podemos ver que a integral dada nada mais é do que a integral de linha do campo F ao longo de um caminho, cujo deslocamento possui componentes (dx, dy). Agora, a gente tem que determinar essa integral de linha independe do caminho. Mas quando uma integral de linha independe do caminho? Quando o campo vetorial é conservativo! Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial
Quando isso ocorre, se temos dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.
Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes da F que definimos correspondem às derivadas parciais de algum campo escalar f. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!
Passo 2
Como a componente x da função F é dada por, temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por
Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos
Da expressão para a integral de vemos que a função C(x) deve ser algo da forma . Por outro lado, da integral para , vemos que a função C(y) deve ser da forma
. Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:
Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Logo, a sua integral de caminho entre dois pontos não depende do caminho escolhido, apenas dos pontos inicial e final. Então, podemos escolher o caminho que quisermos para integrar de (0,1) até (1,2), pois o resultado não depende do caminho, só desses pontos. Então bora lá calcular a integral.
Passo 3
Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que
Onde a curva começa no ponto (0,1) e termina no ponto (1,2).
Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma
Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos
Então, podemos escrever dx e dy como
Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com . Assim, obtemos