Questão 2: Sejam os campos plano e espacial
- Justifique se e são conservativos ou não sem calcular potenciais.
- Caso ou sejam conservativos, determine seus respectivos potenciais.
- Seja o campo plano
Calcule
Onde é o arco de circunferência centrado na origem, indo de para .
Passo 1
Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!
Pow! Olha para o nosso campo
Bem, a única forma desse campo não existir, é se o denominador daquela fração ali for igual a , porém, o próprio problema já nos disse que estamos trabalhando para pontos com:
Então, em todo domínio dessa função, o campo funciona, o que o torna sim simplesmente conexo!
Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...
Passo 2
Para o campo ser conservativo também, outra coisa que precisa acontecer é essa parada aqui ser verdadeira:
OBS: Esse termo do primeiro membro é aquela famosa subtração que utilizamos no Teorema de Green, se lembra? e são as componentes do campo...
Derivando...
Substituindo...
EPA! Funcionou! Então o campo é conservativo! !!!
Passo 3
Vamos fazer as mesmas análises para o campo
Veja que é uma função que só é composta por expressões polinomiais, então ela não tem problema em nenhum ponto, o que a torna simplesmente conexa!
Mas para ser conservativo, outra coisa que tem que acontecer é o rotacional ser nulo (digo rotacional, porque diferentemente do campo anterior, essa função é espacial), então isso aqui deve acontecer...
Mas será que isso é verdade? Vejamos:
Como
Veja que esse rotacional depende de . Como ele não é um rotacional nulo, podemos concluir que o campo não é rotacional!
Passo 4
Como apenas o campo é conservativo, vamos ter que encontrar um potencial apenas pra ele (que bom ).
Tá! é conservativo, mas o que isso significa exatamente?
Significa que o campo possui uma função potencial que, por definição, atende a equação:
Esse segundo termo, se você não se recorda, é a gradiente da função ômega definido como sendo o vetor de derivadas parciais...
Pela igualdade de função vetorial então temos que...
Por igualdade de vetor...
O que vamos fazer aqui agora, basicamente é ressorver essas equações diferenciais e tirar o valor de (a função potencial )
Passo 5
Da primeira equação diferencial...
Podemos, grosso modo, “passar” o pra lado de lá e integrar dos dois lados...
Integrando...
Integrando com relação a agora (tome sendo uma constante)...
Veja que aparece um ! Você pode pensar nela como uma constante de integração, mas como integramos em e a função tem outra variável, a “constante” passa a depender dessa outra variável, saca? Se você ainda não estiver convencido, derive esse ômega com relação à ! Você vai reparar que a some por depender somente de !
Passo 6
Beleza, mas agora vamos resolver a segunda equação de modo análogo...
(Agora, para integrar em tome como uma constante):
Agora apareceu pelo mesmo motivo de ali em cima.
Passo 7
Veja que nos dois últimos passos, encontramos duas funções diferentes...
A resposta verdadeira vai ser uma combinação das duas da seguinte forma:
- Toda termo igual, aparece uma só vez...
- Todo termo diferente aparece também...
- As funções e não coloca, mas no lugar dela, coloca uma constante ...
Basicamente a gente já acabou, pois encontrou todas as funções potenciais de . Aí você poderia perguntar: “Todas?! Mas eu só vejo uma ”. Bem, repare que é uma constante e pode valer qualquer número real. Pra cada um eu tenho uma resposta diferente, saca?
Então nesse caso, as funções potenciais para é essa família de soluções mesmo...
Passo 8
Ok, aqui nesse item, o nosso foco é calcular essa integral de linha aqui:
Onde é um campo muito parecido o nosso campo ...
Bem, é bem provável que não seja conservativo como o campo é (o problema seria muito fácil se fosse). Então, mesmo assim, para facilitar as contas, vamos separar em dois campos:
Para termos certeza de que não é conservativo, basta conferir ...
Então de fato se não é conservativo, não é, saca?
Mas não se preocupe que vamos dar um jeito, no próximo passo, para calcularmos essa integral de linha!
Passo 9
Bem, como dividimos em dois campos, teremos:
Bem, eu fiz isso, porque a integral de linha da , como ela tem uma função potencial, é muito mais fácil de calcular o seu valor, veja:
Pela teoria de função potencial, podemos usa-la para calcular um valor de uma integral de linha:
Onde é a função potencial (); é o ponto de início da curva e é ponto final. Como pelo enunciado
“... indo de para .”
Temos que e ...
Então...
Viu só? Então por isso só precisamos encontrar o valor de integral de linha de . Vamos nessa?
Passo 10
Estamos integrando...
Onde
E é o arco de circunferência de raio e centrada na origem, já que a curva tem que sar de e chegar em :
Para calcularmos essa integral de linha, a gente pode fazer de uma direta, onde primeiro devemos parametrizar a curva :
Onde pelo desenho, vemos que tem que ir de a :
Então a parametrização final fica...
Passo 11
A segunda coisa é calcularmos o termo ...
Passo 12
A terceira e última coisa antes de retornar para integral de linha é substituir os termos e do campo pelos termos da parametrização:
Substituindo então na integral...
Passo 13
Calma, Jovem! Falta pouco. O que viemos procurar nesse item é a integral de linha de , e como vimos...