Seja a curva aberta dada pela interseção das superfícies
Com . Calcule
Especificando a orientação escolhida.
Passo 1
Bem, se formos tentar entender essa curva, primeiro temos um cilindro elíptico:
E um paraboloide:
A interseção das duas superfícies vai ser a própria equação do cilindro elíptico com dado pela equação do paraboloide!
Então se projetarmos essa interseção no plano , ou seja, considerarmos , ficamos com:
Parametrizando:
E a coordenada vai ser dada pelo parabolóide, então vamos ter:
Com porque queremos só a parte de positivo da curva.
Bem, só com isso já da pra ver que seria algo meio bizarro de calcular pela definição, ne? Imagina jogar isso aí naquele ... Sem chance. Mas calma que temos outras estratégias pra resolver isso aí!
Se testarmos o rotacional desse campo aí, vamos ter:
E como o campo é definido para todo o , então podemos dizer que o campo é conservativo! Opa, já é um avanço!
Passo 2
Para campos conservativos, nós costumamos achar funções potenciais que aí não tinhamos que fazer nenhuma integral de linha, ne?
O problema desse caso é que aquele termos é impossível de integrar pra acharmos a função potencial, então nem isso podemos fazer...
Mas calma que aqui podemos usar outra propriedade dos campos conservativos: a independência do caminho!
Bem antes de tudo, podemos ver que a curva vai do ponto:
Ao ponto:
O que é muito bom, porque uma simples reta que leve do ponto ao ponto já resolve nosso problema! Então vamos ter:
E, pela propriedade do campo conservativo:
E é só calcularmos essa nova integral aí, que deve ser bem mais fácil, né?
Passo 3
Vamos calcular a integral pela definição mesmo, então temos a fórmula:
Já temos a parametrização, então é só falta calcular o vetor tangente:
O que é bem tranquilo e simplifica muito as nossas contas, vamos ver!
Passo 4
Substituindo tudo que temos na fórmula, vamos ficar com:
Po, eles tão de sacanagem, né? Haha