UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.1
Seja uma função contínua sobre um arco regular de comprimento . Se , em todos os pontos do arco , mostre que:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma função , definida sobre um arco regular que tem comprimento . E pediu pra gente mostrar que se , então
Pra isso, vamos usar a definição de integral de linha. Essa definição nos diz que se é definida sobre uma curva suave , dada por equações paramétricas , então a integral de linha de sobre é o limite da soma dessa função em um ponto multiplicada por um comprimento de arco infinitesimal. Ou seja:
Onde é o comprimento de arco infinitesimal. Isso é interessante pra gente porque nós vamos precisar relacionar o comprimento da curva com a integral de linha que a questão nos deu.
Vamos lá!
Passo 2
A integral de linha também pode ser definida na forma:
Mas, nós sabemos que o comprimento de uma curva é definido por:
Então, é como se a gente multiplicasse a nossa função pelo seu comprimento de arco na integral. Sendo assim, usando a nossa condição:
Se calcularmos a integral de linha da função sobre a curva , vamos ter:
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉