Seja . Mostre que a integral é independente do caminho e calcule a integral .

Antes de tudo: a integral de linha ser independente do caminho significa que o campo é conservativo, ok?

Bom, a gente poderia começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo porque só temos coordenadas. Mas repara que o problema pediu para a gente provar que (não se) a integral independe do caminho e depois calcular a integral de linha que ele pede.

Logo, já sabemos que ele é conservativo. Claro, calcular o rotacional prova isso, mas calcular a função potencial do campo também. E isso, já vamos fazer de qualquer forma para calcular a integral de linha, então não vamos perder tempo, vamos calcular a função potencial direto né.

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular então, temos:

Onde é o operador de derivadas parciais:

Temos então o seguinte:

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

Comparando as equações, vemos que:

O que nos dá