Seja , ode é uma constante positiva.

1. Construa um campo vetorial tal que seja sua função potencial.
2. Descreva o domínio de onde ela é de classe .
3. Calcule a integral de linha onde e é a curva parametrizada por

Com .

Item 2) Ser de classe significa que as derivadas parciais existirem e ser continuas. A gente pode observar no gradiente calculado acima, que é formado pelas derivadas parciais de , que isso só não acontece quando é igual a

Então, o maior domínio possível que isso funciona é todo o espaço tirando o plano :)

Item 3) bem, se a gente for calcular esse integral de linha direto, vai dar um pouquinho de trabalho. Então, qual é o truque?

O truque é justamente é justamente utilizar a função potencial, pois ela tem o poder de simplificar as integrais de linha, se lembra?!

Onde a é a função potencial , é a de , e os pontos e são os pontos que delimitam a curva.

O grande problema é que não temos a função potencial para , então me acompanha na busca por ele?

Novamente, sabemos que , logo

Igualando o primeiro membro e integrando com respeito a a gente vai ganhar a função em função de e uma constante em função de e (é só lembrar que se você derivar em relação a , essa função some)

Resolver isso é como “jogar” esse para o outro lado e integrar dos dois lados

Fazendo a mesma coisa para o segundo termo:

Por último, integramos o terceiro termo:

Então ficamos com:

Comparando essas funções vamos ter:

Prontinho! Função potencial encontrada :)

AHHH! E lembre-se que essa constante que a gente somou na prática não vai nos interessar, okay?

Agora vamos procurar aqueles pontos e , beleza?

e são pontos extremos da curva, logo, se a gente substituir os limites de na parametrização, obteremos

Substituindo o outo extremo, vamos obter

Agora substituindo tudo na integral que devemos resolver no passo 3, vamos ter

Substituindo o ponto e subtraindo da substituição no ponto

Resolvendo esses senos e tirando esses zeros da jogada, vamos ficar apenas com