Verificar que a integral

∫ 1,1 3,3 e x ln ⁡ y - e y x d x + e x y - e y ln ⁡ x d y

Independe do caminho e calculo o seu valor.

Passo 1

Para a função independer do caminho ela deve ser conservativa, para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nesse exercício ele fez F 1 = e x ln ⁡ y - e y x e F 2 = e x y - e y ln ⁡ x , mas as contas são as mesmas

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x e x y - e y ln ⁡ x = e x y - e y x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y e x ln ⁡ y - e y x = e x y - e y x

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Logo essa função é conservativa no seu domínio simplesmente conexo (onde estamos trabalhando ).

Passo 2

Vamos achar a função potencial, devemos ter

∂ f ∂ x = F 1

f = ∫ F 1 ∂ x = ∫ e x ln ⁡ y - e y x ∂ x = e x ln ⁡ y - e y ln ⁡ x + A y

Além disso devemos ter

∂ f ∂ y = F 2

f = ∫ F 2 ∂ y = ∫ e x y - e y ln ⁡ x ∂ y = e x ln ⁡ y - e y ln ⁡ x + B x

Igualando esses caras vamos ter

e x ln ⁡ y - e y ln ⁡ x + B x = e x ln ⁡ y - e y ln ⁡ x + A y

B x = A y

Isso nos diz que B e A devem ser constantes, então a função potencial vai ficar

f x , y = e x ln ⁡ y - e y ln ⁡ x + K

Passo 3

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em 1,1 e termina em 3,3

A integral vai ficar

∫ C F → ∙ d r → = f 3,3 - f 1,1

∫ C F → ∙ d r → = e 3 ln ⁡ 3 - e 3 ln ⁡ 3 + K - e 1 ln ⁡ 1 - e 1 ln ⁡ 1 + K

⇒ 0 + K - 0 + K

⇒ 0

Resposta

0

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