UFMG – Cálculo 3 – P2 – 2022/2
3) Considere o seguinte campo vetorial dado por:
Responda as questões abaixo:
a) O campo é conservativo? Justifique.
Passo 1
Falaaa... Beleza??
Nessa questão vamos analisar o campo e ver se ele é conservativo ou não.
Lembra que um campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial , ou seja,
O gradiente é representado por esse triângulo de cabeça pra baixo (nome é “nabla”). Ele é o operador:
Então temos:
A gente vai fazer um bocado de conta, igualando cada componente, e se conseguirmos achar uma que satisfaça as três igualdades
o campo é conservativo.
Passo 2
Integrando a primeira:
Não esquece da constante, em relação ao que a gente integrou. Como foi em relação a , vamos ter uma constante em relação a , maaas pode ser função de e . Por isso representamos como
Integrando a segunda:
Integrando a terceira:
Passo 3
Quando comparamos os três resultados. Repara que na primeira e na segunda temos o termo em comum ele poderia estar dentro do na terceira, já que é função de e .
Já o pode tanto estar dentro de quando de .
Daí ficamos com:
Repara que apareceu uma constante . A gente fez várias operações envolvendo integral e derivada, né? Então não levamos em consideração nenhuma constante que fosse só um numerozinho constante. Por isso precisamos adicionar uma constante qualquer.
Como conseguimos achar a função potencial , então o campo é conservativo.
Acabamos a letra a. Bora pra letra b.
Resposta
Sim. Demonstração nos passos.