3) Considere o seguinte campo vetorial F : R^3 → R^3 dado por:

F(x, y, z) = (e^y, x * e^y, z + 1, e^z)

Responda as questões abaixo:

a) O campo F = F é conservativo? Justifique.

Passo 1

Falaaa... Beleza??

Nessa questão vamos analisar o campo F x , y , z = e y ,   x e y , z + 1 e z e ver se ele é conservativo ou não.

Lembra que um campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f , ou seja,

F → = ∇ f x , y , z

O gradiente é representado por esse triângulo de cabeça pra baixo (nome é “nabla”). Ele é o operador:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Então temos:

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

A gente vai fazer um bocado de conta, igualando cada componente, e se conseguirmos achar uma f que satisfaça as três igualdades

∂ f ∂ x = e y

∂ f ∂ y = x e y

∂ f ∂ z = z + 1 e z

o campo é conservativo.

Passo 2

Integrando a primeira:

∂ f ∂ x = e y

f = ∫ e y d x

f = x y y + A y , z

Não esquece da constante, em relação ao que a gente integrou. Como foi em relação a x , vamos ter uma constante em relação a x , maaas pode ser função de y e z . Por isso representamos como A y , z .

Integrando a segunda:

∂ f ∂ y = x e y

f = ∫ x e y d y

f = x e y + B x , z

Integrando a terceira:

∂ f ∂ z = z + 1 e z

f = ∫ z + 1 e z d z

f = z e z + C x , y

Passo 3

Quando comparamos os três resultados. Repara que na primeira e na segunda temos o termo x e y em comum ele poderia estar dentro do C x , y ,   na terceira, já que é função de x e y .

Já o z e z pode tanto estar dentro de A y , z quando de B x , z .

Daí ficamos com:

f = x e y + z e z + K

Repara que apareceu uma constante K . A gente fez várias operações envolvendo integral e derivada, né? Então não levamos em consideração nenhuma constante que fosse só um numerozinho constante. Por isso precisamos adicionar uma constante qualquer.

Como conseguimos achar a função potencial f , então o campo é conservativo.

Acabamos a letra a. Bora pra letra b.

Resposta

Sim. Demonstração nos passos.

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