Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura . A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro do tempo no ar?
Passo 1
É um problema de lançamento vertical. Podemos considerar que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então se considerarmos que a bola gasta segundos para chegar até a altura , podemos dizer que para subir e descer segundos, certo?
O problema quer saber qual a altura para que o tempo de vôo seja o dobro, ou seja, . Com um tempo total de teríamos de subida e de descida.
Mas como sabemos estamos tratando de um movimento vertical, ou seja, o objeto primeiramente realiza um movimento de subida e em seguida muda o sentido do seu movimento e inicia o movimento de descida.
Passo 2
Para o cálculo da altura máxima só nos interessa parte do movimento, pode ser a subida ou a descida das bolas. Aqui usaremos as equações do lançamento vertical para cima, que considera o tempo de subida, e nesse caso a equação da altura fica desse jeito:
O sinal de é negativo pois é oposto ao movimento aqui.
E pra encontrar a velocidade inicial da bolinha podemos usar o seguinte:
No ponto da altura máxima temos e portanto conheceremos o valor de .
Tomando que é o ponto do solo e substituindo teremos a seguinte equação pra altura.
Passo 3
Com a equação da altura máxima calcularemos a altura para o tempo normal, e a altura para o dobro do tempo.
Para o tempo dobrado temos:
Agora é só dividir por e teremos a relação das alturas:
Resposta
As bolas devem ser arremessada a uma altura 4 vezes maior que a altura inicial.