Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = 2 x ,   x = 2

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!? O primeiro passo aqui é a gente lembrar da equação da reta tangente!!!

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Onde x 0 é o ponto de interesse nosso que foi dado no problema!

Então olhando pra equação da reta tangente, o que a gente vai precisar encontrar? Bem, primeiro precisamos calcular y 0 e depois f ' x 0 .

Para calcular y 0 a gente vai precisar pegar nossa f x 0 = y 0 , em outras palavras, uma vez que o enunciado nos deu a função e conhecemos o ponto x 0 desejado, conseguimos calcular tranquilamente o valor de y 0 , certo?

Passo 2

Vamos começar calculando y 0 a partir de x 0

f x = y = 2 x

f x 0 = y 0 = 2 x 0

O nosso ponto é x 0 = x = 2

Logo, y 0 = 2 2 = 4

Show!! Agora partiu calcular a derivada da f x 0 e depois substituir o valor de x 0 por 2!

Para essa derivada, vamos precisar lembrar sobre a seguinte propriedade:

d d x a x = a x ln ⁡ a

Logo,

d d x 2 x 0 = 2 x 0 l n ⁡ ( 2 )

Substituindo agora x 0 = 2

f ' x 0 = d d x 2 x 0 = 4 × 0,7 = 2,8

Passo 3

Usando a equação da reta:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos:

y - 4 = 2,8 ( x - 2 )

y = 2,8 x - 5,6 + 4

y = 2,8 x - 1,6

Passo 4

Para a construção do gráfico de uma reta, podemos conhecer dois pontos e depois ligar os mesmos. Então, por exemplo, um bom ponto pra partirmos é ver qual valor y assumirá quando x = 0 .

y = 2,8 0 - 1,6 → y = - 1,6

Logo, temos o par x , y = 0 , - 1,6

Agora quando y = 0 , qual será o valor de x ?

0 = 2,8 x - 1,6

1,6 2,8 x → 0,57

Logo, temos: x , y = ( 0,57 , 0 ) . Esses pontos são os mais importantes pra a gente saber a carinha do gráfico, mas pra ele ficar mais completo vamos fazer uma tabelinha:

Passo 5

Agora tudo o que precisamos fazer é calcular alguns pontos de f x = 2 x :

Finalmente podemos desenhar as curvas:

Reparou que as retas se tocam exatamente em x = 2 , era exatamente isso que queríamos!

Resposta

y = 2,8 x - 1,6

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