UFABC – Cálculo 1 – Lista 1 – 5a
Escreva a equação da reta tangente às curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
Passo 1
E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!? O primeiro passo aqui é a gente lembrar da equação da reta tangente!!!
Onde é o ponto de interesse nosso que foi dado no problema!
Então olhando pra equação da reta tangente, o que a gente vai precisar encontrar? Bem, primeiro precisamos calcular e depois .
Para calcular a gente vai precisar pegar nossa , em outras palavras, uma vez que o enunciado nos deu a função e conhecemos o ponto desejado, conseguimos calcular tranquilamente o valor de , certo?
Passo 2
Vamos começar calculando a partir de
O nosso ponto é
Logo,
Show!! Agora partiu calcular a derivada da e depois substituir o valor de por 2!
Para essa derivada, vamos precisar lembrar sobre a seguinte propriedade:
Logo,
Substituindo agora
Passo 3
Usando a equação da reta:
Substituindo os valores, temos:
Passo 4
Para a construção do gráfico de uma reta, podemos conhecer dois pontos e depois ligar os mesmos. Então, por exemplo, um bom ponto pra partirmos é ver qual valor assumirá quando .
Logo, temos o par
Agora quando , qual será o valor de ?
Logo, temos: . Esses pontos são os mais importantes pra a gente saber a carinha do gráfico, mas pra ele ficar mais completo vamos fazer uma tabelinha:
Passo 5
Agora tudo o que precisamos fazer é calcular alguns pontos de :
Finalmente podemos desenhar as curvas:
Reparou que as retas se tocam exatamente em , era exatamente isso que queríamos!
Resposta
