Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 14, Seção 1, Exercício 46
(Cap. 14.1 - Ex. 46) Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
E aí galerinha, tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?
O objetivo desse exercício aqui, é desenhar um mapa de contorno, da função dada no enunciado. Um mapa de contorno, nada mais é do que a representação de uma função, com uma entrada bidimensional, e uma saída unidimensional. Então pra gente encontrar esse mapa, devemos primeiramente igualar a função à um plano qualquer. Vamos lá então?
Olha só, pra fazer as curvas de nível da função dada, vamos projetá-la no plano , tendo o seguinte:
Sendo o uma constante qualquer.
Pra a gente saber que tipo de figura vai formar, precisamos tirar esse daí. E como fazemos isso? Basta aplicar uma exponencial dos dois lados.
Mas calma, é de boa, vem comigo!
Passo 2
Vamos pegar nossa equação ali do passo anterior e aplicar a exponencial dos dois lados, obtendo o seguinte:
Como a gente já sabe das regrinhas matemáticas, , então aqui, a gente tem:
Desenvolvendo a equação acima, podemos reescrevê-la assim:
Essa reescrita vai nos permitir observar algo muito interessante e que vai nos ajudar bastante aqui! A equação aqui em cima, é uma elipse! Bora lá trabalhar em cima dessa informação então.
Passo 3
O centro da elipse é na origem , e os eixos variam de acordo com o valor de . Sabemos isso das regras matemáticas que contemplam uma elipse.
Então, se por exemplo, temos a elipse da seguinte forma:
Que tem eixos medindo medindo e eixo medindo .
Então, as curvas de nível vão ser uma família de elipses concêntricas, com eixos dependendo de .
Agora bastante a gente definir valores de para traçarmos o mapa! Vou fazer aqui com :
E tá aí o nosso mapa de contorno! 😉
Uhul! Conseguimos!
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?
Resposta
