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Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 1. Questão 4c.

3- Desenhe as curvas de nível f - 1 k : = x , y ∈ R 2 f x , y = k das funções de duas variáveis f a seguir para os valores de k dados:

c) f x , y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 ;   k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão vamos ter que calcular as curvas de níveis da função f x , y . Ok, mas o que são curvas de níveis?

Curvas de níveis de uma função são obtidas a partir do corte na função a uma altura k do plano x y , formando uma curva correspondente à curva de nível na altura k .

Algo muito parecido com desenhos topográficos em Geografia.

Inicialmente temos uma função tridimensional, porém quando tiramos a curva de nível, obtemos uma função bidimensional, já que a variável z corresponde à altura.

Com isso podemos iniciar nossos cálculos, substituindo f x , y por k , temos

f x , y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2

k = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2

2 k = ln ⁡ x 2 + y 2

Elevando os dois lados por e , temos

e 2 k = e ln ⁡ x 2 + y 2

e 2 k = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = e 2 k 2

Encontramos algo muito parecido com a equação da circunferência, na verdade é exatamente igual a equação da circunferência, onde nosso raio é dado por e 2 k .

Com isso nossas curvas de níveis vão ser circunferências de raio e 2 k .

Passo 2

Agora substituímos k pelos valores que procuramos.

Para k = 0

x 2 + y 2 = e 2 0 2

x 2 + y 2 = 1 2

x 2 + y 2 = 1

Para k = 1

x 2 + y 2 = e 2 1 2

x 2 + y 2 = e 2 2

x 2 + y 2 = e 4

Para k = 2

x 2 + y 2 = e 2 2 2

x 2 + y 2 = e 4 2

x 2 + y 2 = e 8

Para k = 3

x 2 + y 2 = e 2 3 2

x 2 + y 2 = e 6 2

x 2 + y 2 = e 12

Essas equações que obtemos, são das curvas de níveis que procuramos.

Passo 3

Plotando essas curvas em k = 0 , k = 1 , k = 2 e k = 3 , temos

Essas são as curvas de níveis que estávamos procurando.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Para k = 0 , x 2 + y 2 = 1

Para k = 1 , x 2 + y 2 = e 4

Para k = 2 , x 2 + y 2 = e 8

Para k = 3 , x 2 + y 2 = e 12

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