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Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Lista: Funções de Várias Variáveis. Lista 1 - Domínios, Gráficos e Curvas de Nível. 2018.3. Questão: 1E.

Nos seguintes exercícios, ( I ) encontre o domínio D o m   f , ( I I ) encontre a imagem I m   f , e ( I I I ) descreva as curvas de nível da função:

e) f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Fala aí, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver essa questão, temos que entender os conceitos de domínio e imagem de uma função.

Podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função e a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função.

Passo 2

Se f ( x , y ) = ln ⁡ x 2 + y 2 , temos que lembrar que l n de zero e números negativos não existem. Então o que ta dentro ali do l n vai ter que ser maior que zero.

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 > 0

Seu domínio será o conjunto dos números reais, tal que x 2 + y ² seja maior que 0.

Pra imagem não temos restrições.

I m   f x , y = f x , y ∈ R

Sua imagem será o conjunto dos números reais.

Passo 3

Para descrever a curva de nível de uma função, devemos igualá-la ao nível que queremos, por exemplo, nesse caso vamos usar os níveis - 1 / 2 , 1 , 2 e 3 .

Para o nível 1 / 2

f x , y = - 1 2

ln ⁡ x 2 + y 2 = - 1 2

x 2 + y 2 = e - 1 2

Essa equação é de uma circunferência centrada na origem e com raio igual a e - 1 2

Para o nível 1

f x , y = 1

ln ⁡ x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = e 1

Essa equação é de uma circunferência centrada na origem e com raio igual a e

Para o nível 2

f ( x , y ) = 2

ln ⁡ x 2 + y 2 = 2

x 2 + y 2 = e 2

Essa equação é de uma circunferência centrada na origem e com raio igual a e

Para o nível 3

f ( x , y ) = 3

ln ⁡ x 2 + y 2 = 3

x 2 + y 2 = e 3

Essa equação é de uma circunferência centrada na origem e com raio igual a e 3

Ou seja, temos várias circunferências de raios diferentes, todas centradas na origem

Temos então as seguintes equações:

N 0 :   x 2 + y 2 = e - 1 2 N 1 :   x 2 + y 2 = e 1 N 2 :   x 2 + y 2 = e 2 N 3 : x 2 + y 2 = e 3

Agora esboçamos os gráficos dessas equações e teremos os níveis N 0 , N 1 , N 2 e N 3 .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 > 0

I m   f x , y = f x , y ∈ R

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