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Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Lista: Funções de Várias Variáveis. Lista 1 - Domínios, Gráficos e Curvas de Nível. 2018.3. Questão: 1D.

Nos seguintes exercícios, ( I ) encontre o domínio D o m   f , ( I I ) encontre a imagem I m   f , e ( I I I ) descreva as curvas de nível da função:

d) f x , y = 9 - x 2 - y 2

Passo 1

Fala aí, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver essa questão, temos que entender os conceitos de domínio e imagem de uma função.

Podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função e a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função. Ou seja.

Se f ( x , y ) = 9 - x 2 - y 2

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | 9 - x 2 - y 2 ≥ 0

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 ≤ 9

Seu domínio será o conjunto dos números reais, tal que x 2 + y ² seja menor ou igual a 9 , já que a raiz não pode ser menor que zero.

I m   f x , y = f x , y ∈ R | 3 ≥ f x , y ≥ 0

Sua imagem será, também, o conjunto dos números reais, definidos quando f ( x , y ) for maior ou igual a 0 e menor igual a 3 .

Passo 2

Para descrever a curva de nível de uma função, devemos iguala-la ao nível que queremos, por exemplo, nesse caso vamos usar os níveis 0 , 1 , 2 e 3 .

Para o nível 0

f x , y = 0

9 - x 2 - y 2 = 0

x 2 + y 2 = 9

Para o nível 1

f x , y = 1

9 - x 2 - y 2 = 1

x 2 + y 2 = 8

Para o nível 2

f ( x , y ) = 2

9 - x 2 - y 2 = 2

x 2 + y 2 = 5

Para o nível 3

f ( x , y ) = 3

9 - x 2 - y 2 = 3

x 2 + y 2 = 0

Temos então as seguintes equações:

N 0 :   x 2 + y 2 = 9 N 1 :   x 2 + y 2 = 8 N 2 :   x 2 + y 2 = 5 N 3 : x 2 + y 2 = 0

Agora esboçamos os gráficos dessas equações e teremos os níveis 0 , 1 , 2 e 3 .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 ≤ 9

I m   f x , y = f x , y ∈ R | 3 ≥ f x , y ≥ 0

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