Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 2 – Exercício 37
(Capítulo 14.2 – Exercício 37)
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Faaaala galera!
Ó se liga nesse exercício: temos uma função definida em partes (daquelas que são definidas de formas diferentes dependendo dos valores de e ), e aí queremos saber quando essa função é contínua, certo? Pra ser mais certeiro, queremos saber O MAIOR INTERVALO onde ela é contínua
Pra fazer isso, vamos:
A - Encontrar o intervalo de continuidade quando
B - Verificar se função como um todo é contínua (incluindo o ponto )
C - Se a função como um todo for contínua, o maior intervalo é todo o . Caso contrário, é o intervalo encontrado no passo A
Show? Então vamos lá!
Passo 2
A função dada é
Vamos pro passo é, que é verificar se a função é contínua no intervalo em que :
Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero, certo?
Então, igualando o denominador a 0:
Então, só é igual a zero quando e esse ponto não faz parte do domínio.
Então, a função é contínua no intervalo onde ela está definida:
Passo 3
Agora vamos para o passo B: temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de .
Se o limite existir e for igual a 1 (que é o valor da função nesse ponto), a função é contínua.
Como a soma de dois quadrados é sempre maior ou igual a zero:
Somando nos dois lados para ficar parecido com o denominador:
Logo,
Multiplicando os dois lados por , para ficar parecido com a função, temos:
Pelo teorema do confronto:
Assim,
Então o nosso limite deu , que é diferente do valor da função em
isso quer dizer que a função não é continua no ponto , show?
Passo 4
Portanto, encontramos que possui uma descontinuidade no ponto . Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua será o intervalo do passo A:
E é issooo
Resposta
.