- Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
- situada no primeiro octante.
Passo 1
Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.
Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no que você verá a curva na intercessão delas! Veja:
é um cilindro de raio ao redor do e... é um cilindro de raio também, mas dessa vez ao redor do ...
E eis a curva como intercessão delas no primeiro octante!
Passo 2
Como estamos em cima de um cilindro centrado , podemos pensar na parametrização cilíndrica (semelhante às mudanças para coordenadas cilindricas ;)
Como o raio do cilindro é ...
Quanto ao , bem repare que ele é dado pela intercessão dos dois cilindros. Fazer isso em matemática é resolver o sistema com as duas equações:
Pow! Apenas de observar essas duas equações, pegamos que
então...
e a parametrização final fica...
Passo 3
Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro está variando, ok?
Nesse caso, como pode ser notado no desenho, estamos no primeiro octante, onde vemos que dá um quarto de uma volta completa: