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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3j

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(j) ∫ 1,0 0,1 y d x - x d y x 2 + y 2 ; ao longo da curva x = cos 3 ⁡ t , y = sin 3 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ π / 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que calcular a integral de ∫ 1,0 0,1 y d x - x d y x 2 + y 2 ao longo da curva x = cos 3 ⁡ t , y = sin 3 ⁡ t com 0 ≤ t ≤ π / 2 .

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos parametrizar a curva de integração a aplicar essa parametrização a nossa integral.

Ou seja, a ideia é obter uma integral de apenas uma variável e pra isso temos que parametrizar a função de integração.

Podemos chamar x = cos 3 ⁡ t e y = sin 3 ⁡ t . Assim onde tiver x substituímos por cos 3 ⁡ t e onde tiver y substituímos por sin 3 ⁡ t .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Se x = cos 3 ⁡ t derivando os dois lados por t pela regra da cadeia, temos

d x d t = d cos 3 ⁡ t d t = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Isolando d x

d x = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t d t

Fazendo o mesmo para y , temos

y = sin 3 ⁡ t → d y d t = d sin 3 ⁡ t d t = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t

d y = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Substituindo x , y , d x , d y e os limites de integração, chegamos em

∫ 1,0 0,1 y d x - x d y x 2 + y 2 → ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t d t - cos 3 ⁡ t 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t cos 3 ⁡ t 2 + sin 3 ⁡ t 2

∫ 0 π 2 - 3 cos 2 ⁡ t sin 4 ⁡ t d t - 3 sin 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t d t cos 3 ⁡ t 2 + sin 3 ⁡ t 2

Simplificando um pouco mais...

∫ 0 π 2 - 3 cos 2 ⁡ t sin 4 ⁡ t + sin 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t cos 6 ⁡ t + sin 6 ⁡ t d t

∫ 0 π 2 - 3 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t cos 6 ⁡ t + sin 6 ⁡ t d t

Como sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , então

∫ 0 π 2 - 3 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t - sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 4 ⁡ t d t

- 3 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t - sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 4 ⁡ t d t

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador por sec 6 ⁡ t

- 3 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t sec 6 ⁡ t cos 4 ⁡ t - sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 4 ⁡ t sec 6 ⁡ t d t

Por identidades trigonométricas...

- 3 ∫ 0 π 2 s ec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t tan 4 ⁡ t d t

Aplicando o método de substituição fazendo u = tan ⁡ t , então d u = sec 2 ⁡ t d t

- 3 ∫ sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t tan 4 ⁡ t d t → - 3 ∫ u 2 1 + u 6 d u

Novamente aplicando o método de substituição fazendo v = u 3 e consequentemente d u = 3 u 2

- 3 ∫ u 2 1 + u 6 d u → - ∫ 1 1 + v 2 d v

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que ∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x , logo

- ∫ 1 1 + v 2 d v = - arctan ⁡ v

Mas como v = u 3 e u = tan ⁡ t , temos que

- 3 ∫ sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t sec 6 ⁡ t cos 4 ⁡ t - sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 4 ⁡ t sec 6 ⁡ t d t = - arctan ⁡ tan 3 ⁡ t

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora temos que aplicar os limites de integração, porém não podemos fazer essa substituição diretamente pois tan ⁡ π 2 não existe.

Então para contornar este problema vamos calcular o limite de - arctan ⁡ tan 3 ⁡ t para t → π 2

- 3 ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t tan 4 ⁡ t d t = lim t → π 2 ⁡ - arctan ⁡ tan 3 ⁡ t

Se t está tendendo a π 2 , a tan 3 ⁡ t está tendendo a ∞ , ou seja

lim t → π 2 ⁡ - arctan ⁡ tan 3 ⁡ t = - arctan ⁡ ∞

E agora, como acabamos de ver como tan ⁡ π 2 se comporta, podemos imaginar que arctan ⁡ ∞ se comporte da mesma forma, ou seja

- arctan ⁡ ∞ = - π 2

Dessa forma, nosso resultado é dado por

- 3 ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t sec 2 ��� t - sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t tan 4 ⁡ t d t = - π 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

- 3 ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t tan 4 ⁡ t d t = - π 2

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