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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 7c

Calcule

∫ r   - y d x   +   x d y

ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:

  1. triângulo de vértices   ( 0,0 ) ,   ( 1,0 )   e   ( 0,1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a integral

∫ r   - y d x   +   x d y

ao longo do triângulo de vértices   ( 0,0 ) ,   ( 1,0 )   e   ( 0,1 ) . orientada positivamente;

Como fazemos isso? É bem simples, primeiro pegamos a nossa parametrização da curva, e usamos ela para podermos calcular d x   e   d y em função da parametrização escolhida. Depois substituímos na integral e pronto.

Mas nesse caso, compensa desmembrar a nossa curva em três segmentos de retas. Sendo eles

( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) ; ( 1,0 )   ,   ( 0,1 ) e ( 0,1 )   ( 0,0 )

Então vamos nessa!!!

Passo 2

Quem é a nossa r ? É o triângulo   ( 0,0 ) ,   ( 1,0 )   e   ( 0,1 ) . Mas comentamos que é mais simples particionarmos ele em segmentos de retas e parametrizar esses segmentos. Esses segmentos são:

( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) ;

Que parametrizado vira

( t , 0 )   c o m   0 ≤ t ≤ 1

( 1,0 )   ,   ( 0,1 )

Que parametrizado vira

( 1 - t , t )   c o m   0 ≤ t ≤ 1

e ( 0,1 )   ( 0,0 )

Que parametrizado vira

( 0,1 - t )   c o m   0 ≤ t ≤ 1

Bem, para cada parametrização temos

x = t

y = 0

⇒ d x   =   1   d t

d y = 0

x = 1 - t

y = t

⇒ d x   =   - 1   d t

d y = 1   d t

x = 0

y = 1 - t

⇒ d x   =   0

d y = - 1   d t

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ r   - y d x   +   x d y

fazendo as substituições,

  ∫ r   - y d x   +   x d y =   ∫ 0 1   0   d t + ∫ 0 1   1   d t + ∫ 0 1   0   d t

= 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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