UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 9a
Calcule a integral de linha , C é o retângulo com vértices (0, 0) , (3, 0) , (3, 1) e (0, 1) por dois métodos:
- diretamente;
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular a integral de linha dada sobre um retângulo com vértices nos pontos (0,0), (3,0), (3,1) e (0,1). Primeiro, vamos definir 4 curvas parametrizadas que descrevam as arestas do retângulo.
Se seguirmos as curvas nessa ordem, daremos uma volta no sentido anti-horário ao redor do retângulo, partindo da origem e retornando para a origem. Para calcular a integral de linha sobre o retângulo fechado, precisamos calcular sobre cada segmento de reta do retângulo. Vale notar que, nos trechos , onde só nos movemos em x:
Semelhantemente, nos trechos , só nos movemos ao longo de y, e portanto dx = 0, nesses trechos. Então, sabendo disso, vamos calcular a nossa integral!
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a integral sobre . Nesse trecho, a variação em y é zero, portanto, temos que a integral é
Como parametrizamos essa curva como , podemos escrever dx como
Então, como sobre esse caminho os pontos são da forma (t,0) ,podemos escrever a integral como
Para o segundo trecho, descrito por , o oposto ocorre: não há variação em x, apenas em y, portanto dx = 0 sobre esse trecho. Com a parametrização feita, podemos escrever dy como
Então, como sobre essa curva os pontos são da forma (3, t), podemos escrever esse trecho da integral como
Para o terceiro trecho, descrito por , temos novamente que a variação em y é nula: dy = 0. Com a parametrização feita, podemos escrever dx como
Então, como sobre essa curva os pontos são da forma (3 - t, 1), podemos escrever esse trecho da integral como
E, por último, temos o trecho descrito por , onde x não varia: dx = 0. Com a parametrização escolhida, escrevemos dy como
Como os pontos sobre esse trecho são da forma (0, 1 - t), podemos escrever a integral na forma
Então, a integral de linha para o caminho completo, , é simplesmente a soma dos resultados individuais: