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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

IME, 2020, VF, Q3B

Seja o campo vetorial F → x , y , z = ( 9 - x 2 + x 2 - y ,   y 2 - x + z ,   z + x - y ) . Seja a curva C como a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 9 e o plano 2 x + 3 z = 6 , orientada no sentido horário.

  1. Represente a integral de linha do campo vetorial F → sobre a curva C através de uma integral simples definida.
  2. Determine o valor do campo vetorial F → sobre a curva C .

Passo 1

Fala, pessoal! Partindo da integral que achamos no item (a), temos:

∫ C F → ⋅ d   l → =

= ∫ 0 2 π - 27 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t - 9 sin ⁡ t | sin ⁡ t | - 27 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t + 9 cos ⁡ 2 t - 6 cos ⁡ t + 4 sin ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t + 6   d t

No cálculo abaixo, temos de separar nosso intervalo de integração, uma vez que sin ⁡ t > 0 para t ∈ 0 , π e sin ⁡ t < 0 para t ∈ π ,   2 π :

∫ 0 2 π - 9 sin ⁡ t sin ⁡ t d t = - 9 ∫ 0 π sin 2 ⁡ t   d t + 9 ∫ π 2 π sin 2 ⁡ t   d t

Na segunda integral, considere a mudança de variável:

t = u + π d t = d u

Logo,

∫ 0 2 π - 9 sin ⁡ t sin ⁡ t d t = - 9 ∫ 0 π sin 2 ⁡ t   d t + 9 ∫ 0 π sin 2 ⁡ ( u + π ) ⏞ sin 2 ⁡ u   d u

= - 9 ∫ 0 π sin 2 ⁡ t   d t + 9 ∫ 0 π sin 2 ⁡ u   d u

= 0

Onde utilizou-se o fato de que sin ⁡ u + π = - sin ⁡ u .

Passo 2

Passando as outras integrais:

∫ 0 2 π cos ⁡ t d t = sin ⁡ t 0 2 π = 0 = - cos ⁡ t 0 2 π = ∫ 0 2 π sin ⁡ t d t

E ainda, utilizando que:

∫ g ' [ f t ] f ' t d t = g [ f t ]

Temos que o primeiro termo é uma função de cos ⁡ t   multiplicada por cos ⁡ t ' = - sin ⁡ t , enquanto o segundo termo abaixo é uma função de sin ⁡ t   multiplicada por sin ⁡ t ' = cos ⁡ t , donde:

∫ 0 2 π - 27 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t - 27 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t   d t = 27 cos 3 ⁡ t 3 - 27 sin 3 ⁡ t 3 0 2 π = 0

Passo 3

Dessa forma, chegamos à expressão abaixo, a qual possui integral imediata:

∫ C F → ⋅ d   l → = ∫ 0 2 π 9 cos ⁡ 2 t + 2 sin ⁡ 2 t + 6   d t

= 9 sin ⁡ 2 t 2 - 2 cos ⁡ 2 t 2 + 6 t 0 2 π

= 0 + 0 + 12 π - ( 0 + 0 + 0 )

Assim,

∫ C F → ⋅ d   l → = 12 π

Resposta

12 π

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