Seja o campo vetorial . Seja a curva como a interseção do cilindro e o plano , orientada no sentido horário.
- Represente a integral de linha do campo vetorial sobre a curva através de uma integral simples definida.
- Determine o valor do campo vetorial sobre a curva .
Passo 1
Fala, pessoal! Partindo da integral que achamos no item (a), temos:
No cálculo abaixo, temos de separar nosso intervalo de integração, uma vez que para e para :
Na segunda integral, considere a mudança de variável:
Logo,
Onde utilizou-se o fato de que
Passo 2
Passando as outras integrais:
E ainda, utilizando que:
Temos que o primeiro termo é uma função de multiplicada por , enquanto o segundo termo abaixo é uma função de multiplicada por , donde:
Passo 3
Dessa forma, chegamos à expressão abaixo, a qual possui integral imediata:
Assim,
Resposta