UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3g
3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
(g) ; é o triangulo de vértices , e .
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema temos que calcular a integral ao longo do triangulo de vértices , e .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.
Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo
Onde e são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada , ou seja
Sacou? Bora começar! 😬
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração...
Esboçando os pontos de vértices e esboçando o triangulo, temos
Calculando a área dessa região, temos
Em que é o comprimento da base e é a altura
Agora calculando as derivadas parciais de e , em que e .
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Substituindo essas informações no teorema de Green, temos
A integral da derivada da área é justamente igual a área da região.
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
