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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

PUC-RIO – Cálculo 3 – 2020.2 – G1 (Parte 2) – Discursiva

2 . Considere a curva parametrizada plana

α t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t

(espiral logarítmica). Observe que em coordenadas polares esta curva e descrita por

r t =   e t ,   θ ( t )   =   t .

( a ) Esta curva possui auto interseções, isto é, parâmetros t 1   ≠ t 2 tais que α ( t 1 ) = α ( t 2 ) ? Justifique sua resposta.

( b ) Mostre que o ângulo entre o vetor posição α ( t ) e o vetor velocidade α ' t é constante e calcule este ângulo.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para mostrarmos que a curva tem auto interseções teríamos que mostrar que para dois valores de t diferentes o valor do termo da exponencial seria o mesmo.

Os termos de cosseno e seno, não influenciam pelo fato deles serem funções periódicas, então se repetem com o tempo, então quem domina mesmo é o termo da exponencial.

Para encontrar o que o item ( b ) quer vamos derivar α ( t ) em função de t para acharmos o α ' ( t ) .

Um teste que podemos fazer é calcular o produto escalar entre esses dois e ver se encontramos algo que não depende de t , porque assim mostra que o ângulo entre eles não muda, já que:

A → ⋅ B → = A B cos ⁡ θ

Passo 2

a ) Vamos responder esse item com um exemplo. Vamos supor que:

t 1 = 0 e t 2 = 2 π

Para t 1 = 0 temos que:

α 0 = e 0 ⋅ 1 ,   e 0 ⋅ 0 = ( 1,0 )

Agora t 2 = 2 π :

α 2 π = e 2 π ⋅ 1 ,   e 2 π ⋅ 0 = ( e 2 π , 0 )

Com isso podemos ver que por mais que para cos ⁡ ( t ) e sen ⁡ ( t ) ocorre de assumirem o mesmo valor para t ' s diferentes um α ( t 1 ) qualquer não terá o mesmo valor de um α t 2 qualquer visto que a potência da exponencial será sempre diferente, sendo assim α t diferentes.

Passo 3

Vamos calcular α ' ( t ) , temos que:

α t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t

Assim:

α ' t = e t cos ⁡ ( t ) - e t sen ⁡ t ,   e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ ( t )

Fazendo o produto escalar entre α ( t ) e α ( t ' ) , temos:

α t ⋅ α ' t = e t cos ⁡ t e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t + e t sen ⁡ t e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ ( t )

= e 2 t cos 2 ⁡ t - e 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t cos ⁡ ( t ) sen ⁡ t

= e 2 t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

Assim temos que:

α t ⋅ α ' t = e 2 t

Passo 4

Agora vamos calcular o termo:

A B cos ⁡ θ

Temos que:

α ( t ) = e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t = e t

E temos também:

α ' ( t ) = e t cos ⁡ ( t ) - e t sen ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ ( t ) 2

= e 2 t cos 2 ⁡ t - 2 e 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + e 2 t cos 2 ⁡ t

= e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t cos 2 ⁡ t

= 2 e 2 t = 2 e t

Assim temos que:

α ( t ) α ' ( t ) = 2 e 2 t

Passo 5

Então o produto escalar fica seguinte forma:

e 2 t = 2 e 2 t cos ⁡ θ

⇒ cos ⁡ θ = 1 2

⇒ cos ⁡ θ = 2 2

Como a gente pode ver o termo do cosseno é sempre constante independentemente do valor de t , logo o ângulo é constante e temos que:

θ = π 4

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

Explicado acima.

( b )

Explicado acima.

θ = π 4

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