(a) Determine a massa de um arame cujo formato é o da curva

γ(t) = (2t, t^2, t^2), onde 0 ≤ t ≤ 1,

e a densidade de massa em cada ponto é δ(x, y, z) = x .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o a massa de um fio com formato

γ ( t )   =   ( 2 t ,   t 2 ,   t 2 ) ,   o n d e   0   ≤   t   ≤   1 ,

e densidade

δ ( x ,   y ,   z )   =   x

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   �� a b | γ ' ( t ) | d t

Logo, se a densidade de um fio é dada por

δ ( x ,   y ,   z )

sua massa será,

  ∫ a b δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t )   =   ( 2 t ,   t 2 ,   t 2 ) ,   o n d e   0   ≤   t   ≤   1 ,

Logo,

γ ' ( t ) = ( 2,2 t , 2 t )

então

| γ ' ( t ) | = 4 + 8 t 2

= 2 1 + 2 t 2

Então nossa integral fica

γ ( t )   =   ( 2 t ,   t 2 ,   t 2 ) ,   o n d e   0   ≤   t   ≤   1 ,

∫ 0 1 4 t 1 + 2 t 2 d t

Passo 3

∫ 0 1 4 t 1 + 2 t 2 d t

Fazendo u = t 2 ⇒ 2 t d t = d u

∫ 2 1 + 2 t 2 d u

integrando,

= 4 / 6 ( 1 + 2 u ) 3 / 2

Como

u = t 2

Então,

= 4 / 6 ( 1 + 2 t 2 ) 3 / 2

Aplicando os limites de integração.

= 2 3 / - 2 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 2 3 / - 2 / 3

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