Cálculo Aplicado – 1ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Calcule a integral de superfície onde e é a parte do paraboloide abaixo do plano com orientação ascendente (orientada para fora da superfície).
Passo 1
Opa! A primeira coisa que a gente precisa fazer é parametrizar essa superfície aí. Olhando a cara dela, que é um paraboloide e tem esses termos de e , o melhor caminho talvez seja ir para as coordenadas cilíndricas:
A gente só precisa entender melhor o que esses limites que o problema nos deu fazem com essas coordenadas e com o que a gente ainda não sabe. Como o paraboloide só possui valores positivos de , observamos que ele começa em e termina no , onde o problema falou.
Dessa forma a parametrização é
Passo 2
Precisamos calcular a normal à . Fazemos isso através das derivadas da nossa parametrização
E a normal é dada pelo produto vetorial
Aqui a gente tem que tomar um cuidado. Olha, se é um paraboloide e a orientação é para fora da superfície, quando tivermos no primeiro octante ( e maiores que 0) temos que ter um vetor que tenha componentes e positivas e a componente negativa. Nesse octante temos e a nossa parametrização está de acordo com esses sinais nesse intervalo. Se tivéssemos feito íamos encontrar uma orientação oposta.
Passo 3
Vamos montar a nossa integral
Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos
A integral fica
Passo 4
Resolvendo a integral