Calcule

∫ r   - y d x   +   x d y

ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:

  1. ao longo da elipse   x 2   +   36 y 2   =   36 ;

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a integral

∫ r   - y d x   +   x d y

ao longo da elipse   x 2   +   36 y 2   =   36 ; orientada positivamente;

Como fazemos isso? É bem simples, primeiro pegamos a nossa parametrização da curva, e usamos ela para podermos calcular d x   e   d y em função da parametrização escolhida. Depois substituímos na integral e pronto.

Então vamos nessa!!!

Passo 2

Quem é a nossa r ? Ora é a elipse

  x 2   +   36 y 2   =   36 ;

⇔ x 2 36 + y 2 = 1

Qual é a parametrização da elipse? Ela é

( 6 c o s t , s i n t ) ,   c o m   0 ≤ t ≤ 2 π

Bem, pela parametrização da nossa curva, temos:

x = 6 c o s t

y = s i n t

⇒ d x   =   - 6 s i n t   d t

d y = c o s t   d t

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ r   - y d x   +   x d y

fazendo as substituições,

  ∫ r   - y d x   +   x d y =   ∫ 0 2 π   6 s i n 2 t   + 6 c o s 2 t   d t

= ∫ 0 2 π 6 d t

= 12 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 12 π

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