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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 2b

Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t c o s ( t ) ,   t s i n ( t ) , t ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t c o s ( t ) ,   t s i n ( t ) , t ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( t c o s ( t ) ,   t s i n ( t ) , t ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Logo,

γ ' ( t ) = ( c o s ( t ) - t s i n ( t ) , s i n ( t ) + t c o s ( t ) , 1 )

então

| γ ' ( t ) | = ( c o s ( t ) - t s i n ( t ) ) 2 + ( s i n ( t ) + t c o s ( t ) ) 2 + 1

= 2 + t 2

Então nossa integral fica

γ ( t ) = ( t c o s ( t ) ,   t s i n ( t ) , t ) ,   0 ≤ t ≤ 2

∫ 0 2 = 2 + t 2 d t

Passo 3

∫ 0 2 = 2 + t 2 d t

Fazendo t = 2 t g ( u ) ⇒ d t = 2 s e c 2 ( u ) d u

∫ 2 - 2 t g 2 ( u ) 2 s e c 2 ( u ) d u

u s a n d o   q u e   t g 2 + 1 = s e c 2

= 2 ∫ s e c 3 ( u ) d u

Integrando

=   ( - l o g ( c o s ( u / 2 )   -   s i n ( u / 2 ) )   +   l o g ( c o s ( u / 2 )   +   s i n ( u / 2 ) )   +   s e c ( u )   t a n ( u ) )

Aplicando os limites de integração 0 ≤ u ≤ π / 4

= 2 - l n ( 1 + 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 2 - l n ( 1 + 2 )

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