Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

Determine o trabalho realizado pela força F → ( x ,   y ,   z ) = ( - y z , x z , x y ) para deslocar uma partícula ao longo da elipse x 2 + 9 y 2 = 36 , no ponto z = 2 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o trabalho realizado pelo seguinte vetor de força:

F → ( x ,   y ,   z ) = ( - y z , x z , x y )

Que desloca uma partícula ao longo da elipse x 2 + 9 y 2 = 36 , no ponto z = 2 , orientada no sentido anti-horário.

Para determinar o trabalho realizado pela força F → , podemos usar a fórmula do trabalho W para uma força vetorial:

W = ∫ F → ∙ d r → C

onde F é a força e d r é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho C .

Agora temos que parametrizar nosso caminho C e aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos parametrizar a elipse no sentido anti-horário, usando um parâmetro t que varia de 0 a 2 π .

x = 6 cos ⁡ t

y = 2 sin ⁡ t

z = 2

Então, podemos calcular o vetor deslocamento d r em termos de d t :

d x = - 6 sin ⁡ t d t

d y = 2 cos ⁡ t d t

d z = 0

Substituindo na fórmula do trabalho, temos:

W = ∫ 0 2 π - y z , x z , x y ∙ d x , d y , d z ∴

W = ∫ 0 2 π - 2 sin ⁡ t * 2 cos ⁡ t , 6 cos ⁡ t * 0 ,   6 cos ⁡ t * 2 sin ⁡ t - 6 sin ⁡ t d t , 2 cos ⁡ t d t , 0   ∴

W = ∫ 0 2 π 24 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral, temos:

W = ∫ 0 2 π 24 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t ∴

Utilizando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 , temos:

W = ∫ 0 2 π 24 1 - cos ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t d t ∴

W = ∫ 0 2 π 12 cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t d t ∴

W = ∫ 0 2 π 12 cos ⁡ t d t - ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t ∴

W = 0 - 12 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

W = - 12 * 1 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 2 π 0 ∴

W = - 12 2 2 π ∴

W = - 12 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

W = - 12 π

Exercícios de Livros Relacionados

Como se calcula a área de uma superfície parametrizada no espa-ço? E de uma superfície implicitamente definida F(x, y, z) = 0?E da superfície que é o gráfico de z = ƒ(x, y)? Dê exemplos
Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longoda curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).
Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
O que são integrais de linha? Como elas são calculadas? Dêexemplos
Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.10. ∫ y 2d x + x 2d x C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .