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Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 3b

Determine a massa e o centro de massa de um arame cujo formato é o da curva

x 2   +   y 2   =   4 ,   x   ≥   0 .

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o a massa de um fio com formato

x 2   +   y 2   =   4 ,   x   ≥   0 .

e densidade

δ ( x ,   y ,   z )   =   x 2

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Logo, se a densidade de um fio é dada por

δ ( x ,   y ,   z )

sua massa será,

  ∫ a b δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

E seu centro de massa é dado por:

  x ̄ = ∫ a b x δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

  y ̄ = ∫ a b y δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

x 2   +   y 2   =   4 ,   x   ≥   0 .

Sua parametrização é:

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) , 2 s i n ( t ) ) ,   - π / 2 ≤ t ≤ π / 2

Logo,

γ ' ( t ) = ( - 2 s i n ( t ) , 2 c o s ( t ) )

então

| γ ' ( t ) | = 2

Então, o comprimento do arame é

∫ - π / 2   π / 2 2 d t

= 2 π

Passo 3

A massa do arame é dada por

∫ - π / 2 π / 2 2 ( 2 c o s ( t ) ) 2 d t

= 8 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 2 ( t ) d t

integrando,

= 4 ( c o s ( t ) s i n ( t ) + t )

Aplicando os limites de integração

= 4 π

Passo 4

Agora, vamos calcular o centro de massa.

Pela simetria da circunferência, e pelo fato da densidade ser x 2 . Já temos que a coordenada do centro de massa y ̄ = 0

Vamos calcular x ̄ . Pela definição, precisamos calcular

  x ̄ = ∫ a b x δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t / m a s s a

a massa do arame já temos. Vamos resolver a integral

∫ a b x δ ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t

no nosso caso ela é

∫ - π / 2 π / 2 ( 2 c o s ( t ) ) 3 2 d t

= 16 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 3 ( t ) d t

usando integração por partes, temos:

= 16 ( 1 3 s i n ( x ) c o s ( x ) + 2 3 s i n ( x ) )

Aplicando os limites de integração

= 16 ( 1 3 s i n ( x ) c o s ( x ) + 2 3 s i n ( x ) )

= 64 / 3

Logo, como a massa do fio é de 4 π , então

x ̄ = 16 / ( 3 π )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

4 π , ( 16 / ( 3 π ) , 0 )  

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