UFRJ. Cálculo 2. P1. 2022.1. Questão 8.
Considere a curva parametrizada por , . O comprimento de arco entre os pontos e é igual a
(a)
(b)
(c) Nenhuma das opções
(d)
(e)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, temos que calcular o comprimento da curva parametrizada por onde pertence ao intervalo e .
Porém, queremos saber o comprimento entre os pontos e , ou seja
Para ser igual a e ser igual a , deve ser . Já para ser igual a e ser igual a , deve ser logo
Ok, mas como fazemos para calcular esse comprimento?? 🤔
O comprimento de uma curva parametrizada é dado pela fórmula
Logo o que precisamos fazer é calcular a derivada de e obter seu módulo.
Entendeu? Vamos começar!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a derivada de
Pela rega da cadeia, a derivada de dentro multiplicada pela derivava de fora
Resultando em
Logo o módulo desse vetor derivado é dado por
Manipulando os valores dentro da raiz
Como , temos
Aplicando uma propriedade de radical
Ou seja, o modulo de é dado por
Agora podemos substituir esse resultado na formula!
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Com isso, temos
Pelo método de substituição e .
Substituindo por de volta, temos
Aplicando os limites de integração.
Ou seja, o comprimento do arco entre os pontos e formado pela curva parametrizada é de !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
(d)