Cálculo Aplicado – 1ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Seja .
- Calcule a integral de linha em que é a curva
Passo 1
Opa! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha do campo
por esse caminho doido aí. Só que tem uma coisa... O próprio enunciado já nos disse que o campo é conservativo isso quer dizer que a integral de linha dele independe do caminho que a gente escolha desde que os pontos inicial e final sejam os mesmos do caminho inicial.Olha lá, essa curva doida aí
Começa em , então começa em
E termina em , ou seja, em:
Então a nossa tarefa é bolar um caminho que começa em e termina em e o caminho mais fácil que liga dois pontos é uma reta. Então no fundo o que a gente vai fazer é calcular
Onde agora é uma reta que liga os pontos e .
Passo 2
Vamos escrever a equação paramétrica de uma reta que liga os pontos e . A equação deve ter essa cara aqui
Mas quem são esses ? Bem, o e o são as componentes de um vetor paralelo à reta. A gente calcula esses caras usando dois pontos da reta... Que pontos? O problema já nos dois os pontos e a gente precisa apenas fazer uma subtração entre eles
Dessa forma a gente tem
O e o são as componentes de qualquer ponto da reta. Para facilitar, vou usar o ponto então temos
Então a gente conseguiu a parametrização
Ou podemos definir essa reta por
Passo 3
A gente resolve a integral de linha do problema usando
Usando que começamos em e , a reta que a gente construiu e
Nossa tarefa agora é escrever esse campo usando o e o que a gente encontrou. Como isso simplifica o nosso problema e temos
Precisamos também calcular aquele que é simplesmente a derivada de cada componente de em relação a
Passo 4
Juntando nossos resultados a gente reescreve
Resolvendo o produto escalar que surge na integral temos