UFRJ. Cálculo 2. P1. 2022.1. Questão 7.
Considere a reta no espaço parametrizada pela função vetorial , . Qual das seguintes equações descreve um plano que não intersecta a reta acima?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das opções
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Essa questão é muito interessante! Temos uma reta parametrizada dada por e alguns planos nas alternativas.
A ideia é indicar qual dos planos é paralelo a .
Ok, mas como fazemos isso?? 🤔🤔
A ideia é a gente trabalhar com o produto interne entre o vetor paramétrico da reta e um vetor normal ao plano.
Por exemplo, temos um plano o vetor normal a ele é dado pelos valores multiplicados por e , ou seja .
O nosso vetor paramétrico de é dado pelos valores que multiplicam , ou seja
Logo se significa que a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
O que vamos fazer é calcular os vetores para cada plano, ou seja.
Para o plano (a)
O vetor normal vai ser obtido pelos índices que multiplicam as variáveis , ou seja
Agora verificamos se é satisfeito.
Então o plano (a) não é paralelo a .
Vamos analisar o plano (b)
Podemos observar que seu vetor normal é
Calculando o produto interno , temos
Opa!! Temos um forte candidato aqui, o que fazemos agora é verificar se a reta está contida no plano.
Uma reta paramétrica é dada por
Onde , e são coordenadas de um ponto pertencente à reta. Então se substituirmos esses valores no plano e a equação for satisfeita, a reta está contida no plano.
Entendeu? Veja só! 😁
Passo 3
Como pode ser escrito como
Substituindo o ponto no plano
A equação foi satisfeita, logo a reta esta contida no plano. Esse não é o plano que estamos buscando, vamos continuar!
No plano (c) vemos que o vetor normal é dado por
Calculando o produto interno , temos
Eitaa! Encontramos mais um candidato!
Vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente para descobrir se está contida no plano.
Substituindo em
Ebaa! Encontramos o plano paralelo a , então se são paralelos não se intersectam nunca!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
(c)