Questão 5. Ache uma representação de parametrização das superfícies abaixo.

(a) A metade inferior do elipsoide 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter a parametrização da curva dada pela metade inferior do elipsoide dado pela equação 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 .

E agora? 👀

Perceba que a curva dada é muito parecida com uma esfera e também sua parametrização também é muito parecida.

Em coordenadas esféricas chamamos x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ e z = ρ cos ⁡ ϕ .

E para elipsoide, como fazemos? 🤔

Passo 2

Para elipsoides a ideia é a mesma... só que a diferença é que multiplicamos as variáveis pela raiz dos inversos dos múltiplos das variáveis.

Por exemplo, no nosso caso, x 2 está sendo multiplicado por 2 , então temos que multiplicar a parametrização de x pela raiz do inverso desse múltiplo, ou seja 1 / 2 .

Assim se

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1

Parametrizando x , y e z com esse método, temos

x = 1 2 ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = 1 4 ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Como a constante isolada no outro lado da igualdade é 1 , então ρ = 1 = 1 , assim como em coordenadas esféricas.

x = 1 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = 1 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = cos ⁡ ϕ

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para verificar se a parametrização está correta, substituímos na equação

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1

2 1 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 4 1 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + cos ⁡ ϕ 2 = 1

2 1 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 1 4 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

Simplificando...

sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

1 = 1

Tudo certo! Agora precisamos definir os valores de ϕ e θ para no referirmos apenas ao lado inferior do sólido.

Pra isso, temos que olhar para as referências dos ângulos ϕ e θ e analisar como esses ângulos variam.

Pela imagem de cima, vemos que ϕ é o ângulo que o ponto da superfície faz com o semieixo positivo de z , já θ é o ângulo que um ponto da superfície faz com o semieixo positivo de x .

No nosso caso, como estamos interessados apenas na parte inferior da superfície, então queremos apenas os pontos onde z ≤ 0 , ou seja, nesses pontos ϕ varia de π / 2 a π .

θ varia normalmente de 0 a 2 π ...

Assim, nossa parametrização da superfície é dada por

r ϕ , θ = 1 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 1 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , cos ⁡ ϕ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π π 2 ≤ ϕ ≤ π

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

r ϕ , θ = 1 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 1 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , cos ⁡ ϕ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π π 2 ≤ ϕ ≤ π

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