USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, PSUB - 2017, Questão 14
Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de . Sejam e considere os planos dados pelas equações
no sistema de coordenadas . Se for uma reta, então poderemos afirmar que:
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
Passo 1
Faaaaaala pessoal, tudo tranquiloo?
Nessa questão temos um sistema de coordenadas dado por em . Embora soe um pouco estranho, esse sistema é o mesmo que estamos acostumados a usar. No nosso caso, é justamente a origem de .
É falado também que existem três planos dados pelas equações:
No meio dessas equações tem dois parâmetros que não sabemos os valores: e .
O enunciado nos pede para determinar um intervalo para e sabendo que a intersecção dos três planos é uma reta.
Para encontrar a equação da intersecção de , precisamos montar o sistema:
E, a solução desse sistema precisa ser uma reta.
Se a solução é uma reta, significa que o sistema possui infinitas soluções.
Pronto, é a partir disso que vamos atacar o nosso problema. Vamos descobrir o intervalo de valores de e , de modo que o sistema acima possua infinitas soluções.
Passo 2
Bom, para que tenha infinitas soluções, precisamos que pelo teorema de cramer, o determinante da matriz completa(substituída) e incompleta(coeficientes) sejam nulos.
Assim, pela matriz dos coeficientes do sistema:
Ou seja:
Perfeito!
Além disso, o determinante da matriz completa (substituída) também precisa ser nulo.
Logo, substituído a coluna da matriz dos coeficientes, vem:
Ou seja:
Sendo assim, concluímos que a resposta é a letra e).
Terminamosss! Até a próxima gente 😊
Resposta
Letra e).