USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, PSUB - 2017, Questão 15
Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de , e sejam e as retas dadas pelas equações:
e
no sistema de coordenadas Seja a reta que passa pelo ponto e que intersecta as retas e . Se for o ponto na intersecção de e , então será igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aí pessoal, tudo na paz?
Nessa questão temos um sistema de coordenadas dado por em . Embora soe um pouco estranho, esse sistema é o mesmo que estamos acostumados a usar. No nosso caso, é justamente a origem de .
É falado que existem duas retas: e . Dadas por:
e
E, que há uma reta , que intersecta e , e que passa pelo ponto .
Precisamos encontrar a intersecção da reta com , para a partir daí fazer a seguinte operação com suas coordenadas:
Essa será a resposta do exercício.
A sacada para resolver essa questão é usar o vetor diretor da reta .
Para encontrar o vetor diretor de uma reta basta utilizarmos que ele é determinado pela subtração de dois pontos da reta.
Assim, sobre “conhecemos” três pontos que pertence a ela. O ponto em comum com , o ponto e o ponto em comum com .
Então show, vamos usar essas informações para encontrar a resposta.
Passo 2
A reta é dada por:
Assim, o ponto que pertence a e a é dado por:
Logo, o vetor diretor da reta é dado por:
E, como falamos antes, o sistema de coordenadas é o que estamos acostumados a usar. Assim, o vetor diretor da reta pode ser dado por:
Muito bom!
Já para a reta , temos:
Assim, o ponto que pertence a e a é dado por:
Para não confundir com o que usamos em , vamos trocá-lo por . Assim:
Sabendo disso, podemos novamente determinar o vetor diretor da reta:
Excelente!
Passo 3
Agora que já temos duas expressões diferentes para o vetor diretor de , podemos igualar:
O que nos dá o seguinte sistema:
Da e equação, temos:
Assim,
Esse é o ponto de intersecção entre e . Assim, fazendo:
Aplicando a operação que o enunciado pediu encontraremos nossa resposta:
O que nos dá letra e).
Uhuuuul! Matamos mais uma questão.
Vocês curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Letra e).