USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 2
Seja uma base de e considere a base de , em que
Se , então a soma das coordenadas de em relação à base vale
Passo 1
E aí? De boa pra mais uma? Hahahaha vamos lá!
Temos uma base do espaço :
E aí temos um vetor que está escrito em outra base :
Nossa missão aqui vai ser escrever esse vetor na base , ok?
O vetor escrito na base vai ser
Onde é a matriz de mudança de base de para
Então vamos lá entender como podemos fazer esse cálculo
Ok, mas não temos essa matriz...Realmente, mas pelo menos temos a matriz de mudança de base de para . Colocando
Passo 2
Show, sabemos que
E é a matriz de mudança de base de para
Ok, mas não temos essa matriz...Realmente, mas repara que ele deu a base com os elementos escritos na base :
Cara, então a gente tem a matriz de mudança de base de para , ela vai ser
Então é só a gente inverter essa matriz para termos :P
Passo 3
Belezinha, então
Para invertermos a matriz, vamos adicionar uma matriz identidade do lado dela. Aí vamos escalonar as duas até que a matriz da esquerda vire a matriz identidade. E aí a matriz da direita vai ser a nossa inversa, ok?
Vamos lá escalonar:
Opaaa! Então a matriz do lado esquerdo já virou a matriz identidade, portanto a nossa matriz inversa é
E essa é a matriz de mudança de base de para
Passo 4
Então agora podemos usar a fórmula:
Showww, então já encontramos as coordenadas de na base :D
Como o enunciado pediu a soma das coordenadas, fazemos:
Mandamos bem!!