Seja . Considere as afirmações.
(I) Existe um vetor não nulo tal que suas coordenadas na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base .
(II) Existe um vetor não nulo tal que suas coordenadas na base canônica são o triplo de suas coordenadas na base .
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Vamos considerar o vetor de coordenadas na base.
Pra passar esse vetor pra base canônica, é só aplicar essas coordenadas, em ordem, nos vetores da base
Então na base canônica as coordenadas desse vetor são:
E , ou seja, as coordenadas do vetor na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base .
A afirmação (I) é verdadeira.
Passo 2
(II) Vamos supor que exista um vetor de coordenadas na base tal que suas coordenadas na base canônica sejam
Vamos ver se isso é possível passando da base para a canônica:
Então queremos que:
Da primeira equação, tiramos que , e da segunda, que .
A única forma de essas duas coisas serem verdade ao mesmo tempo é se .
Então o único vetor que satisfaz a condição da afirmação (II) é o vetor nulo, e ela diz que existe outro vetor que não é ele.
Por isso, ela é falsa.
Resposta
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.