USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 2
Seja uma base de e considere a base de , em que
Dado , as coordenadas de em relação à base são
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Oii gente, vamos lá arrasar!
Temos duas bases: e , sendo que:
E aí temos um vetor escrito na base : e queremos escrever ele na base , ou seja, queremos encontrar
Para isso, vamos usar o que sabemos de matrizes de mudança de base
Onde é a matriz de mudança de base de para
Ta... mas não temos essa matriz! Realmente não, mas temos a matriz de mudança de base de para , porque os elementos de estão escritos na base . Então, colocando esses elementos nas colunas de uma matriz, temos
E aí é só inverter essa matriz para encontrarmos, vamos!
Passo 2
A matriz de mudança de base de para é
Mas como queremos a matriz de mudança de base de para , vamos inverter essa matriz:
Vamos lá fazer as operações para que a matriz da esquerda vire a matriz identidade:
E por fim:
Showw, então essa é a nossa matriz inversa:
Passo 3
Agora que temos a matriz inversa, é só aplicarmos na fórmula:
Multiplicando as matrizes:
Ebaaa, então a alternativa correta é a)
Resposta
a)