Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I   Se F = v 1 , … , v k é um subconjunto linearmente independente de V , então podemos encontrar G = w 1 , … , w n - k em V , tal que F ∪ G é linearmente independente.

I I Todo subconjunto de V com mais do que n vetores é gerador de V .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Se F tem k elementos L I , então ele tem dimensão k .

Para que F ∪ G ser linearmente independente, F e G precisam ser linearmente independentes individualmente e entre si. Sendo assim, vamos assumir que G é L I também.

Se G tem n - k elementos L I , então ele tem dimensão n - k .

Se F ∪ G fosse de fato L I , então ele teria dimensão k + n - k = n que é a mesma dimensão de V . E isso é perfeitamente possível. Nesse caso F ∪ G seria uma base de V .

Passo 2

Agora a I I

Opa, essa já não é tão verdade né. Vamos definir um subconjunto W de V da seguinte forma:

W = v , 2 v , 3 v , 4 v , … , n v , n + 1 v

Onde v ∈ V .

Dessa forma nosso conjunto tem n + 1 vetores no entanto ele gera um espaço de dimensão 1 apenas!!! Isso porque todos os vetores são múltiplos de v e portanto geram o mesmo espaço.

Resposta

Letra ( d )

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