A1 T21
Seja um espaço vetorial de dimensão . Considere as seguintes afirmações:
Se é um subconjunto linearmente independente de , então podemos encontrar em , tal que é linearmente independente.
Todo subconjunto de com mais do que vetores é gerador de .
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
Passo 1
Vamos analisar a
Se tem elementos , então ele tem dimensão .
Para que ser linearmente independente, e precisam ser linearmente independentes individualmente e entre si. Sendo assim, vamos assumir que é também.
Se tem elementos , então ele tem dimensão .
Se fosse de fato , então ele teria dimensão que é a mesma dimensão de . E isso é perfeitamente possível. Nesse caso seria uma base de .
Passo 2
Agora a
Opa, essa já não é tão verdade né. Vamos definir um subconjunto de da seguinte forma:
Onde .
Dessa forma nosso conjunto tem vetores no entanto ele gera um espaço de dimensão apenas!!! Isso porque todos os vetores são múltiplos de e portanto geram o mesmo espaço.
Resposta
Letra