Considere um tetraedro A B C D e seja M um ponto tal que

M B → + M C → + M D → = O →

a) Explique por que M pertence à face B C D .

b) Mostre que as coordenadas de A M → na face β = ( A B → ,   A C → ,   A D → ) são 1 3 , 1 3 , 1 3 .

Passo 1

a) Para que M pertença à face B C D , os pontos M , B , C e D devem ser coplanares certo?

O enunciado nos dá a seguinte combinação linear:

M B → + M C → + M D → = O →

Bom, isso quer dizer que existe uma combinação linear de M B → , M C → e M D → que dá 0, sendo que os coeficientes que multiplicam cada vetor NÃO SÃO 0. Isso quer dizer que esse 3 vetores são L.D. :D Se esses vetores são L.D., quer dizer que os pontos M , B , C e D são coplanares :)

Passo 2

b) Olhando de novo aquela equaçãozinha do enunciado, vamos escrever cada elemento dela em função dos elementos da base β beleza?? Assim:

M B → = M A → + A B →

M C → = M A → + A C →

M D → = M A → + A D →

Boaa, agora vamos jogar isso na equação:

M B → + M C → + M D → = O →

M A → + A B → + M A → + A C → + M A → + A D → = O →

A B → + A C → + A D → = - 3 M A →

Agora, concorda que - M A → é a mesma coisa que A M → ? Então:

A B → + A C → + A D → = 3 A M →

Então:

A B → + A C → + A D → 3 = A M →

A M → = A B → 3 + A C → 3 + A D → 3

Portanto:

A M → = 1 3 , 1 3 , 1 3 β

Resposta

a) Demonstração.

b) Demonstração.

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