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Exercícios Resolvidos de Coordenada

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial e α e β duas bases distintas de V .

Sejam v → e w → dois vetores distintos de V .

Denotamos as coordenadas de v → em relação à base α por v → α .

Podemos sempre afirmar que:

a   v → α ≠ v → β

b   v → α ≠ w → β

c   v → α ≠ w → α

d   v → β ≠ w → α

Passo 1

Será que a ( a ) é verdade?

Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.

Por exemplo, olha o vetor v → = ( 2 ,   2 ) escrito na base canônica α = { i ^ ,   j ^ } :

2 ,   2 = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 1 ,   0 + 2 ( 0 ,   1 )

O mesmo vetor escrito na base β = 1 2 ,   1 ,   1 2 ,   0 fica:

2 ,   2 = 2 1 2 ,   1 + 2 1 2 ,   0

Afinal:

2 ,   2 = ( 2 ∙ 1 2 + 2 ∙ 1 2 ,   2 ∙ 1 + 2 ∙ 0 )

Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes ( 2 ,   2 ) .

Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.

Passo 2

Essa ( b ) é bem tranquila. Um vetor v → numa base sempre pode ser escrito como um vetor w → em outra base.

Olha só:

v → = ( 1 ,   1 )

w → = ( 2 ,   2 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) .

Mas se escrevemos o v → na base β , temos v → = ( 1 ,   1 ) = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então v → α = w → β , e a ( b ) é falsa.

Passo 3

A letra ( c ) diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!

Afinal, se temos uma base β = { u → ,   v → } , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:

a u → + b v →

Esse vetor é o a ,   b escrito na base β .

Nem teria sentido falar em a ,   b β se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.

Esse vetor é único.

Passo 4

Pô, a ( d ) é quase cópia da ( b ) .

Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só trocando quem é v → e quem é w → .

v → = ( 2 ,   2 )

w → = ( 1 ,   1 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) .

Mas se escrevemos o w → na base β , temos w → = 1 ,   1 α = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então w → α = v → β (logo a ( d ) é falsa).

Resposta

Letra ( c )

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