USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 15
Seja uma base ortonormal de e considere os vetores e . Sejam tais que , com paralelo a e ortogonal a . Se , então é igual a
Passo 1
Faaaala pessoal! Bora lá pra mais um exercício?
Olha só, sabemos que existe um vetor que pode ser escrito assim:
Sendo que é paralelo a e é ortogonal a
E aí queremos encontrar as coordenadas de , ou seja, os valores de
Bom pessoal, precisamos lembrar de duas coisas principais:
- Se é paralelo a , então existe um tal que
- Se é ortogonal a , então
Então vamos lá aplicar isso!!
Passo 2
Como é paralelo a , então existe algum valor real tal que
Igualando as coordenadas:
Então, temos que
Portanto, o vetor pode ser escrito assim:
Passo 3
Também sabemos que é ortogonal a , então
Então, o vetor pode ser escrito assim
Belezaaa, agora vamos usar a informação de que
Passo 4
Temos que
Então:
Igualando as coordenadas:
Subtraindo as duas primeiras equações:
Showw, então substituindo isso nas equações 2 e 3:
Somando as duas equações:
Como , temos que também
E como , temos
Logo, as coordenadas do vetor são , e então
Sucesso!