USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 8
Considere fixada uma orientação em , e seja uma base ortonormal positiva de . Seja . A soma das coordenadas, em relação à base , do vetor que satisfaz
-
- é igual a
Passo 1
E aíí galera, vamos lá pra mais um exercício?
Temos um vetor que é uma incógnita:
Massss, sabemos duas coisas sobre ele:
- O produto escalar vale
- O produto vetorial vale
Então a partir dessas duas informações, vamos encontrar as coordenadas do vetor para então podermos calcular a soma , fechou??
Passo 2
Vamos começar pelo produto escalar:
Showw, então já temos alguma informação ali sobre as coordenadas hahahaha agora vamos ver sobre o produto vetorial
Passo 3
Para o produto vetorial, temos que
Então vamos montar a matriz desse produto:
Calculando o determinante da matriz:
Juntando os termos em comum:
Então agora é só igualar as coordenadas que multiplicam cada termo :D
Passo 4
Igualando os coeficientes de cada termo, vamos ficar com esse sistema:
Temos
Se tentarmos resolver esse sistema do jeito que ele está, vamos encontrar infinitas soluções ☹ mas podemos ficar tranquilos, porque temos uma informação a mais que vai nos ajudar: a equação do passo 2.
Então vamos pensar: na segunda equação, temos que . Da terceira equação, temos que
Então vamos substituir isso lááá na equação do passo 2:
Então:
Portanto
Passo 5
Showww! Agora que já temos as coordenadas do vetor , é só somar para termos a resposta:
Mandamos bem demais!!