Sejam β = b 1 → ,   b 2 → uma base de R 2 e u → ,   v → ∈ R 2 os vetores u → = ( - 1 ,   1 ) e v → = 3 ,   3 . Se as coordenadas na base β destes vetores são u → β = ( 1 ,   - 1 ) e v → β = 1 ,   1 , então b 1 → é:

a) ( 1 ,   3 )

b) ( 1 ,   2 )

c) ( 2 ,   3 )

d) ( 3 ,   2 )

e) Não sei.

Passo 1

Digamos que temos um vetor ( a ,   b ) e queremos saber suas coordenadas ( c ,   d ) na base β . Nesse caso, temos que escrever ( a ,   b ) como combinação linear dos vetores de β , onde os coeficientes são ( c ,   d ) , assim:

a ,   b = c b 1 → + d b 2 →

Bom vamos lá, o enunciado falou pra gente que u → β = ( 1 ,   - 1 ) e v → β = 1 ,   1 . Nesse caso, ele já nos deu os coeficientes da combinação linear e agora quer os vetores da base. O que isso quer dizer? Que:

u → = - 1 ,   1 = 1 ,   - 1 β = 1 b 1 → + - 1 b 2 → = 1 b 1 → - 1 b 2 →

v → = 3 ,   3 = 1 ,   1 β = 1 b 1 → + 1 b 2 →

Vamos chamar b 1 → = ( a ,   b ) e b 2 → = c ,   d .

Então:

- 1 ,   1 = 1 a ,   b - 1 c ,   d   ( I )

3 ,   3 = 1 a ,   b + 1 c ,   d   ( I I )

Passo 2

Da equação ( I ) , temos

- 1 ,   1 = 1 a ,   b - 1 c ,   d   ( I )

- 1 ,   1 = a ,   b - ( c ,   d )

- 1 ,   1 = ( a - c ,   b - d )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

a - c = - 1 b - d = 1     ( I I I )

E da equação I I :

3 ,   3 = 1 a ,   b + 1 c ,   d   ( I I )

3 ,   3 = a ,   b + ( c ,   d )

3 ,   3 = ( a + c ,   b + d )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

a + c = 3 b + d = 3   ( I V )

Mesclando os sistemas ( I I I ) e ( I V ) , temos:

a - c = - 1 b - d = 1 a + c = 3 b + d = 3

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema

a - c = - 1 b - d = 1 a + c = 3 b + d = 3

Da primeira equação, temos

a = c - 1

Substituindo na terceira:

c - 1 + c = 3

c = 2

Então, a = 2 - 1 = 1 .

Da segunda equação, temos

b = d + 1

Substituindo na quarta:

d + 1 + d = 3

d = 1

Então b = 1 + 1 = 2

Logo:

a = 1

c = 2

b = 2

d = 1

Como queremos o vetor b 1 → = ( a ,   b ) , temos que b 1 → = ( 1 ,   2 ) .

Logo, a alternativa correta é a letra B :P

Resposta

b) ( 1 ,   2 )

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