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Exercícios Resolvidos de Coordenada

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Enunciado

UFES. Álgebra Linear. Prova: P2 Tarde. 2017.2. Questão: 3.

Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

A) Encontre a matriz de mudança de base da base B = 1 - 2 t + t 2 ; 3 - 5 t + 4 t 2 ; 2 t + 3 t 2 para a base canônica C = 1 ,   t ,   t 2 , e a matriz mudança de base da base canônica C   para a base B

B) Encontre as B-coordenadas do vetor - 1 + 2 t .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Muito legal essa questão, pois é muito cobrado em listas e provas, então ter prática com esse tipo de questão é uma baita vantagem pra vir o 10 na prova!

A questão nos pediu pra encontrar a matriz mudança de base de B para C e depois de C para B . Na pratica, podemos encontrar uma das matrizes mudança de base e depois calcular a matriz inversa.

Para calcular a matriz mudança de base da base B para a base C vamos utilizar a fórmula K B = K B C K C , onde

K B = 1 - 2 t + t 2 3 - 5 t + 4 t 2 2 t + 3 t 2

K C = 1 t t 2

K B C = a b c d e f g h i

Montando a equação com os valores que temos

1 - 2 t + t 2 3 - 5 t + 4 t 2 2 t + 3 t 2 = a b c d e f g h i 1 t t 2

Resolvendo a multiplicação de K B C K C , temos

1 - 2 t + t 2 3 - 5 t + 4 t 2 2 t + 3 t 2 = a + b t + c t 2 d + e t + f t 2 g + h t + i t 2

Transformando em um sistema de equação para facilitar a visualização dos passos seguintes

1 - 2 t + t 2 = a + b t + c t 2 3 - 5 t + 4 t 2 = d + e t + f t 2 2 t + 3 t 2 = g + h t + i t 2

Passo 2

Como num passe mágica podemos definir os elementos da matriz mudança de base ao comparar cada uma das 3 equações, por exemplo, para a igualdade ser verídica o termo independente de uma matriz tem que ser igual ao termo independente da outra matriz, assim como os termos associados à variável t e à variável t ² , ou seja

Se 1 - 2 t + t 2 = a + b t + c t 2 , temos que ter a = 1 , b = - 2 e c = 1 .

Se 3 - 5 t + 4 t 2 = d + e t + f t 2 , temos que ter d = 3 , e = - 5 e f = 4 .

E por fim, se 2 t + 3 t 2 = g + h t + i t 2 , temos que ter g = 0 já que o polinômio 2 t + 3 t 2 não possui termo independente, h = 2 e i = 3 .

Dessa forma nossa matriz mudança de base K B C será

K B C = 1 - 2 1 3 - 5 4 0 2 3

Agora para calcular a matriz mudança de base K C B , vamos calcular a matriz inversa de K B C

Passo 3

Mão na massa!

Se K C B for igual a K B C - 1 , então

K B C K B C - 1 = I

K C B =   K B C - 1 = 1 - 2 1 3 - 5 4 0 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Escalonando a matriz da esquerda transformando em uma matriz identidade

1 - 2 1 3 - 5 4 0 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - 3 L 1

1 - 2 1 0 1 1 0 2 3 1 0 0 - 3 1 0 0 0 1 L 1 → L 1 + 2 L 2 L 3 → L 3 - 2 L 2

1 0 3 0 1 1 0 0 1 - 5 2 0 - 3 1 0 6 - 2 1 L 1 → L 1 - 3 L 3 L 2 → L 2 - L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 23 8 - 3 - 9 3 - 1 6 - 2 1

Ou seja, chegamos no resultado de que K C B é dado pela matriz

K C B = - 23 8 - 3 - 9 3 - 1 6 - 2 1

Passo 4

No item b) vamos encontrar as coordenadas em B do vetor - 1 + 2 t

Pra isso, vamos nomear um vetor x , y , z , onde o produto escalar desse vetor com a base B resulta no vetor - 1 + 2 t .

Bora para os cálculos!

- 1 + 2 t + 0 t 2 = x 1 - 2 t + t 2 + y 3 - 5 t + 4 t 2 + z 2 t + 3 t 2

Resolvendo essa equação temos que

- 1 + 2 t + 0 t 2 = x - 2 x t + x t 2 + 3 y - 5 y t + 4 y t 2 + 2 z t + 3 z t 2

- 1 + 2 t + 0 t 2 = x + 3 y + - 2 x - 5 y + 2 z t + x + 4 y + 3 z t 2

Pela regra de igualdade de polinômios, vamos chegar a um sistema de equações, onde termos independentes são iguais, assim como os termos associados à variável t e os termos associados à variável t 2 .

x + 3 y = - 1 - 2 x - 5 y + 2 z = 2 x + 4 y + 3 z = 0

Vamos converter este sistema para uma matriz e escalonar na forma reduzida pra obter os valores de x , y e z .

1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3 - 1 2 0 L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1

1 3 0 0 1 2 0 1 3 - 1 0 1 L 1 → L 1 - 3 L 2 L 3 → L 3 - L 2

1 0 - 6 0 1 2 0 0 1 - 1 0 1 L 1 → L 1 + 6 L 3 L 2 → L 2 - 2 L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 - 2 1

Com isso encontramos os valores das coordenadas, onde

x = 5 y = - 2 z = 1

Essas são as coordenadas em B que resultam no vetor - 1 + 2 t !

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) K B C = 1 - 2 1 3 - 5 4 0 2 3 e K C B = - 23 8 - 3 - 9 3 - 1 6 - 2 1

b) x = 5 y = - 2 z = 1

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