Considere os planos π e ρ de equações cartesianas

π : x - y - z = 0

ρ : 2 x + y + z = 0

(b) Considere o conjunto de vetores

α = 1,1 , 2 , 1,2 , 1 , 1,1 , 0

os vetores que estão escritos na base canônica. Mostre que α é uma base de R 3 .

(c) Considere o vetor v cujas coordenadas na base α são

v α = 1,1 , 0

Determine as coordenadas de v na base canônica.

Passo 1

(b) Temos um conjunto com 3 vetores do R 3 : α = 1,1 , 2 , 1,2 , 1 , 1,1 , 0

Pra esse conjunto ser base de R 3 , esses três vetores devem ser LI.

Pela definição, um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear entre eles que gera o vetor nulo é a combinação linear trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Então vamos ver se isso é verdade pra esses 3 vetores:

a 1,1 , 2 + b 1,2 , 1 + c 1,1 , 0 = 0,0 , 0

a + b + c , a + 2 b + c , 2 a + b = 0,0 , 0

Ficamos com o sistema:

a + b + c = 0 a + 2 b + c = 0 2 a + b = 0

Da terceira equação:

b = - 2 a

Substituindo na primeira equação:

a - 2 a + c = 0 ⇒ a = c

Substituindo na segunda:

a + 2 - 2 a + c = 0 ⇒ c = 3 a

Como c = a = 3 a , então a única forma de isso ser verdade é se:

c = a = 0

Logo:

b = 0

E temos todos os coeficientes da CL iguais a zero.

Portanto, os três vetores são LI e formam uma base para R 3 .

Passo 2

(c) A questão deu que as coordenadas de v na base α são:

v α = 1,1 , 0

onde α = 1,1 , 2 , 1,2 , 1 , 1,1 , 0

Pra achar as coordenadas na base canônica, basta fazer a combinação linear dos elementos da base α   com coeficientes dados pelas coordenadas do vetor nessa base.

Ou seja:

v = 1 1,1 , 2 + 1 1,2 , 1 + 0 1,1 ,

∴ v = ( 2,3 , 3 )

Resposta

(b) Demonstração

(c) v = ( 2,3 , 3 )

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