Exercícios Resolvidos de Coordenada

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Enunciado

Considere os planos e de equações cartesianas

(b) Considere o conjunto de vetores

os vetores que estão escritos na base canônica. Mostre que é uma base de .

(c) Considere o vetor v cujas coordenadas na base são

Determine as coordenadas de v na base canônica.

Passo 1

(b) Temos um conjunto com 3 vetores do :

Pra esse conjunto ser base de esses três vetores devem ser LI.

Pela definição, um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear entre eles que gera o vetor nulo é a combinação linear trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Então vamos ver se isso é verdade pra esses 3 vetores:

Ficamos com o sistema:

Da terceira equação:

Substituindo na primeira equação:

Substituindo na segunda:

Como , então a única forma de isso ser verdade é se:

Logo:

E temos todos os coeficientes da CL iguais a zero.

Portanto, os três vetores são LI e formam uma base para .

Passo 2

onde

Pra achar as coordenadas na base canônica, basta fazer a combinação linear dos elementos da base com coeficientes dados pelas coordenadas do vetor nessa base.

Ou seja:

Resposta

(b) Demonstração

(c)

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