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Exercícios Resolvidos de Coordenada

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Enunciado

  1. Existe alguma base β de R 2 tal que, 2,1 β = 0 1 ?
  2. É possível encontrar uma segunda base β ' ≠ β também satisfazendo 2,1 β = 0 1 ?

Passo 1

Letra a)

Bom, vamos definir uma base para o R 2 , sendo β = { v 1 ,   v 2 } . Sabendo que o vetor ( 2,1 ) está escrito nas coordenadas da base β , então:

2,1 = 0 v 1 + 1 v 2

Com isso, podemos perceber que o vetor ( 2,1 ) será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o 0 .

Assim, uma possível base é:

β = 1,0 ,   2,1

Só não podemos esquecer que β é uma base! Então v 1 não pode ser múltiplo de v 2 , nem ser o vetor nulo, ou seja, v 1 não pode ser múltiplo de 2,1 e nem ser 0,0 !

Passo 2

Letra b)

Sabendo como se resolve a letra ( a ) , fica fácil a letra ( b ) ! Nós vimos que como o 0 multiplica o primeiro vetor da base que escolhemos, podemos pegar qualquer valor para o primeiro vetor dessa base, que ainda vamos satisfazer a condição dada. Observe que ele deu apenas uma condição.

Portanto um outra base β ' é:

β ' = 0,1 ,   2,1

Resposta

  1. β = 1,0 ,   2,1
  2. β ' = 0,1 ,   2,1

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