Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

b) Determine uma base γ do subespaço W formada com vetores do conjunto v 1 , v 2 , v 3 . Considere o vetor v cujas coordenadas na base canônica são 2 ,   1 ,   3 . Determine as coordenadas de v na base γ .

Passo 1

b) Primeiro vamos encontrar o subespaço W gerado pelos 3 vetores.

Antes de tudo, vamos reparar uma coisa: nenhum dos 3 vetores são paralelos entre si certo? Então o que podemos fazer é montar um plano com eles, basta encontrarmos um vetor normal fazendo o produto vetorial entre dois deles, e aí verificamos se o terceiro vetor faz parte do plano :P

Escolhendo v 1 e v 2 como os vetores para encontrarmos o vetor normal do plano:

v 1 ∧ v 2 = ( 1 ,   2 ,   1 ) ∧ 1 ,   - 1 ,   2

v 1 ∧ v 2 = 5 ,   - 1 ,   - 3

Então, se o nosso vetor normal é 5 ,   - 1 ,   - 3 , o plano gerado por v 1 e v 2 pode ser escrito como

5 x - y - 3 z = 0

Agora observa uma coisa: se a gente substituir v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 ) nesse plano, temos:

5.0 - 3 - 3 . - 1 = 0

- 3 + 3 = 0

0 = 0

Ou seja, v 3 pertence a esse plano e portanto ele é gerado pelos nossos 3 vetores.

Então, podemos dizer que o subespaço W é o nosso plano 5 x - y - 3 z = 0 .

Passo 2

Para encontrarmos a base γ , basta escolhermos vetores LI no nosso conjunto v 1 , v 2 , v 3 .

Por exemplo, v 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ) e v 2 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) são LI, porque não existe b tal que

1 ,   2 ,   1 = b . ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Então, podemos chamar nossa base γ = v 1 ,   v 2 = 1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 .

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas de ( 2 ,   1 ,   3 ) na base γ . Essas coordenadas são ( e ,   f ) tal que

2 ,   1 ,   3 = e . v 1 + f v 2

2 ,   1 ,   3 = e . 1 ,   2 ,   1 + f . ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Vamos encontrar e e f então hahaha

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

e + f = 2 2 e - f = 1 e + 2 f = 3

Resolvendo esse sistema, encontramos e = f = 1 .

Então, 2 ,   1 ,   3 γ = e ,   f = ( 1 ,   1 ) :D

Resposta

b) γ = 1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   2

2 ,   1 ,   3 γ = ( 1 ,   1 )

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