Considere os vetores de cujas coordenadas na base canônica são
E o subespaço vetorial de gerado por estes vetores.
b) Determine uma base do subespaço formada com vetores do conjunto . Considere o vetor cujas coordenadas na base canônica são . Determine as coordenadas de na base .
Passo 1
b) Primeiro vamos encontrar o subespaço gerado pelos 3 vetores.
Antes de tudo, vamos reparar uma coisa: nenhum dos 3 vetores são paralelos entre si certo? Então o que podemos fazer é montar um plano com eles, basta encontrarmos um vetor normal fazendo o produto vetorial entre dois deles, e aí verificamos se o terceiro vetor faz parte do plano :P
Escolhendo e como os vetores para encontrarmos o vetor normal do plano:
Então, se o nosso vetor normal é , o plano gerado por e pode ser escrito como
Agora observa uma coisa: se a gente substituir nesse plano, temos:
Ou seja, pertence a esse plano e portanto ele é gerado pelos nossos 3 vetores.
Então, podemos dizer que o subespaço é o nosso plano .
Passo 2
Para encontrarmos a base , basta escolhermos vetores LI no nosso conjunto .
Por exemplo, e são LI, porque não existe tal que
Então, podemos chamar nossa base .
Passo 3
Agora vamos encontrar as coordenadas de na base . Essas coordenadas são tal que
Vamos encontrar e então hahaha
Igualando as coordenadas, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos .
Então, :D
Resposta
b)