Seja uma base do . Mostre que se são tais que
então é uma base de .
Passo 1
Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:
Hipóteses: é uma base do e .
Tese: é uma base de .
Passo 2
Se é uma base de é a nossa tese, então o que queremos saber é se é e que . Vamos provar primeiro que eles são , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.
Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:
Passo 3
Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se é :
Por hipótese, sabemos quem é em função de . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:
Passo 4
Como sabemos que o conjunto é uma base, ele é também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:
Assim, podemos ver que:
Portanto, nosso conjunto é também.
Passo 5
Agora falta provar que . Entretanto, como é uma base do , sabemos que . E como pode ser escrito como uma de , eles também pertencem ao . Assim, podemos concluir que é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao , e ; portanto, .
Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente , porque não sabemos em que espaço se situam () Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores do , que não gera o .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)