Espaços Vetoriais
Seja um espaço vetorial e e duas bases distintas de .
Sejam e dois vetores distintos de .
Denotamos as coordenadas de em relação à base por .
Podemos sempre afirmar que:
Passo 1
Será que a é verdade?
Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.
Por exemplo, olha o vetor escrito na base canônica :
O mesmo vetor escrito na base fica:
Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes . Lembre-se que a base é um conjunto ordenado então trocar a ordem já a torna uma base diferente!
Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.
Passo 2
Essa é bem tranquila. Um vetor numa base sempre pode ser escrito como um vetor em outra base.
Olha só:
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então , e a é falsa.
Passo 3
A letra diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!
Afinal, se temos uma base , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:
Esse vetor é o escrito na base .
Nem teria sentido falar em se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.
Esse vetor é único.
Passo 4
Pô, a é quase cópia da .
Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só quem é e quem é .
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então (logo a é falsa).
Resposta
Letra